李雅普诺夫方程是啥？
李雅普诺夫方程用以判断一个系统是否有均衡点，凡是可以用李雅普诺夫方程表示的，一定有均衡点，凡是不能的，则有可能有也有可能没有均衡点。
首先假设这个系统有两个特征
1. 系统存在一个最大值/最小值
2. 系统每一次值的变化都是在变大/变小（最大值对应变大，最小值对应变小）
换句话说，在一个存在最大值的系统中，xt+1≠xt，F（xt+1）>F(xt)+k, k>0 。
如果是最小值系统则改为k<0
类比下，我在爬楼梯，禁止下楼只能上楼，那么每一次移动都会导致我所在高度增加，最终就会达到最高层的天花板（均衡点）。
李雅普诺夫方程的应用
李雅普诺夫方程常见于各种类“自由市场”的情景之中。这个自由市场可以被描述为遵守如下规则的双方：
每个人都有一定的资源，他们只会且一定会进行让自己总利益增加的交换,且双方的交易行为不会对第三者的利益造成影响。
这样的系统恰好符合李雅普诺夫方程的要求即：
1. 系统存在最大值（就是位于帕累托最优的点：现有资源分配在不使得任何人变坏的情况下，没有人可能变得更好）
2. 每一次系统的值的变化（每一次交换行为），系统的值都在变大。（指参与增加行为人总利益的交易）
因此任何符合以上自由市场规则的行为人都可以用李雅普诺夫方程，都存在均衡点。
举个例子，领导可能懒得调查每一位员工的喜好了，于是他给所有员工一人买了一个同类礼物，不过礼物颜色都不一样。
领导设立了一个三十分钟的时间段让大家自由交换礼物，这样就可以达到均衡点，而不需要领导提前调查安排耗费精力。
或者在两个繁忙的城市之间新开设了一条高速公路，我们是否需要担心这条高速公路超级拥堵？
不需要，因为每个独立行为人都选择总体体验度更高的线路，而过度堵塞影响体验度，所以会有一部分人转移到别的线路，这时堵塞便有所缓解，最后堵塞的程度会维持在一个均衡点上。
在这个点，每个人更换线路都不会有利于自己的利益。
均衡点一定落在极值上么？
不一定。我们可以回到刚才关于自由市场的讨论：上文假设的自由市场（不存在市场失灵）的均衡点理论上会落在帕累托最优上。
然而帕累托最优是说这个点之后，若要利己必先损人。这说明这个系统至少忽略了通过功利主义的方式来增加总体值的方法（牺牲一小部分造福一大部分）。（是不是也反应了市场经济存在的一些小问题呢）
此外，不局限于自由市场，回想我们之前提到过的崎岖景观模型，均衡点也有可能落在局部最高点上。
因为在局部最高点，任何移动都会让点数下降，这违背了李雅普诺夫方程的第二个前提：每一次系统值变化都是在变大。
为什么不是所有系统都可以写出李雅普诺夫方程？
1. 因为反方向的外来因素导致系统无法达到均衡。
什么意思？
我们之前的自由交换的例子之所以能成行，是因为一般的交换默认不会影响第三者（交易双方之外的人）的利益，或者至少是这个影响足够小可以忽视。
但我们假设另外一个场景，老板给每个人安排了办公室的位置，大家可以自由交换。
这种情况下的自由交换就不是李雅普诺夫方程。因为系统多了一个干扰变量：因为办公室位置导致的办公室人际关系的变化。
因此一个换办公室的操作，其实是很可能影响周围的人的开心程度的。比如本来你已经达到“你的帕累托最优了”换到了你的最佳位置，结果这个时候隔壁突然换过来一个你的冤家，于是你的帕累托最优又没了。
第三个变量的方向可能不和交易原有双方互动导致利益变化的方向一致。
交易双方的总利益肯定是上升了，但所有人都总利益却不一定上升，这就为能不能有朝一日达到最高点埋下了不确定因素。
2. 系统不存在最大值或者最小值
我们之前提到的是交换，交换的特点是完全交易过后双方在进行交换就不会增加总体利益了。
但是比如，合作就不同，双方每一次合作都可以增加双方利益。比如情侣牵手每一次都可以产生幸福感，不存在最大值。
意义
增加了我们使用自组织来代替计划的信心，因为我们可以更明确是否有均衡点产生。
但同时也让我们对过度对系统放任自由这种做法保持警惕，因为不是所有系统都可以走向均衡点，且均衡点并不一定落在最大值上。